Андрей Абель

Замена: пусть \(s = 3\sin^2 2x \in [0,3]\). Тогда \(3\cos 4x = 3 - 2s\), и уравнение принимает вид: $$|s - a| + 2|s + a| = a + 6$$ Обозначим \(f(s) = |s - a| + 2|s + a|\). Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда прямая \(y = a + 6\) пересекает график \(f(s)\) на отрезке \([0,\,3]\): $$\min_{s \in [0,3]} f(s) \;\leqslant\; a + 6 \;\leqslant\; \max_{s \in [0,3]} f(s)$$ При \(a \geqslant 0\): минимум \(f = 3a\) достигается при \(s = 0\), откуда \(3a \leqslant a + 6\), то есть \(a \leqslant 3\). При \(-3 \leqslant a < 0\): минимум \(f = -2a\) достигается при \(s = -a\), откуда \(-2a \leqslant a + 6\), то есть \(a \geqslant -2\). Ответ: \(-2 \leqslant a \leqslant 3\)